Algunas ecuaciones diofanticas 2
La ecuación \(x^4+y^4=z^2\)
Esta ecuación diofantica no tiene soluciones no triviales y veremos que probar esto es equivalente a probar que la ecuación \(x^4+y^4=z^4\) no tiene soluciones no triviales también. Además que \(x^n+y^n=z^n\) no tiene soluciones no triviales si \(n\) es una potencia de \(2\) mayor que \(2\).
Veamos entonces este primer resultado.
Demostración:(esto va a estar feo)
Es suficiente probar que la ecuación no tiene soluciones primitivas, es decir donde \(m.c.d(x,y,z)=1\). Supongamos entonces que la tripla \((x,y,z)\) es una solución primitiva tal que \(x>0,y>0,z>0\) y \(z\) es mínimo. Además, sin perder generalidad, podemos suponer que \(x\) es impar y \(y\) es par. Escribiendo \(x^4+y^4=z^2\) de la forma:
\[\begin{align*} (x^2)^2+(y^2)^2=z^2 \end{align*}\]Sabemos que:
\[\begin{align*} x^2=a^2-b^2, y^2=2ab,z=a^2+b^2 \end{align*}\]Donde \(a>b>0\), \(a\) y \(b\) de paridad opuesta y \(m.c.d(a,b)=1\).
Ya que si \(a\) fuese par y \(b\) impar, el número \(x^2=a^2-b^2\) seria de la forma \(4k-1=4(k-1)+3\) con \(k>0\), lo que es imposible (\(x^2\) es un cuadrado perfecto). Luego \(a\) es impar y \(b\) es par.
Aplicando nuevamente el análisis anterior a la ecuación \(x^2+b^2=a^2\) tenemos que:
\[\begin{align*} x=u^2-v^2, b=2uv,a=a^2+v^2 \end{align*}\]Donde \(u>v>0\), \(m.c.d(u,v)=1\) con \(u,v\) de distinta paridad y como \(y^2=2ab\) entonces \(y^2=4uv(u^2+v^2)\) puesto que \(u,v\) y \((u^2+v^2)\) son primos relativos dos a dos, entonces cada uno dde estos números debe ser un cuadrado perfecto; sea por ejemplo
\[\begin{align*} u=r^2, v=s^2, u^2+v^2=t^2 \end{align*}\]Donde podemos asumir que \(r,s\) y \(t\) son positivos. Además tenemos \(m.c.d(r,s,t)=1,t>1\) y:
\[\begin{align*} r^4+s^4=t^2 \end{align*}\]Y como \(z=a^2+b^2=t^4+b^2>t^4\), entonces \(z>t\).
De esta forma hemos encontrado una solución primitiva y positiva de \(x^4+y^4=z^2\), es decir \((r,s,t)\) donde \(t<z\) lo que contradice la minimalidad de \(z\), con lo cual queda demostrado el teorema.
\[\tag*{$\blacksquare$}\]Note que esta prueba es por descenso infinito ya que si no suponemos \(z\) mínimo podemos seguir aplicando este proceso y eso contradice el principio del buen orden. Y es que al estudiar el trabajo de Fermat es muy común encontrarnos con pruebas de este estilo.
La ecuación \(x^4+y^4=z^4\)
Veamo que esta ecuación diofantica tampoco tiene soluciones triviales.
Demostración
Es suficiente observar que la ecuación puede escribirse en la forma:
\[\begin{align*} x^4+y^4=(z^2)^2 \end{align*}\]Y por el teorema anterior sigue que esta ecuación no tiene solución.
\[\tag*{$\blacksquare$}\]Finalmente veamos que si \(n\) es una potencia de \(2\) mayor que \(2\), entonces la ecuación \(x^n+y^n=z^n\) no tiene soluciones no triviales.
Demostración
Si \(n\) es una potencia mayor que 2 , entonces \(n=2^{\ell}\), con \(\ell \geq 2\). Supongamos que la ecuación \(x^n+y^n=z^n\) tiene solución, entonces \(x^{2^{\ell}}+y^{2^{\ell}}=z^{2^{\ell}}\) tiene solución, luego
\[\left(x^{2^{l-2}}\right)^4+\left(y^{2^{l-2}}\right)^4=\left(z^{2^{l-2}}\right)^4\]tiene solución entera, lo cual contradice el teorema anterior.
Es sorprendente ver lo lejos que podemos llegar a veces en matemáticas con tan pocas herramientas.