Area igual a perímetro
Sabemos que por el teorema de pitágoras al ser un triangulo rectángulo se tiene que \(a^2+b^2=c^2\), entonces consideramos \(a\) y \(b \neq 0\) ya que ningún lado puede ser 0 Sabemos que el área de un triángulo es \(\frac{a b}{2}\) y que el perímetro sería \(a+b+c\), luego
\[\frac{a b}{2}=a+b+c\]Luego como \(c^2=a^2+b^2\)
\[\left(\frac{a b}{2}-a-b\right)^2=a^2+b^2\]Ahora expandiendo el cuadrado, tenemos que
\[\left(\frac{a b}{2}-a-b\right)^2=\frac{a^2 b^2}{4}+a^2+b^2-a^2 b-a b^2+2 a b\]Y por tanto
\[\frac{a^2 b^2}{4}-a^2 b-a b^2+2 a b=0\]Ahora factorizamos $a b$ y nos queda lo siguiente:
\[a b\left(\frac{a b}{4}-a-b+2\right)=0\]Y como \(a\) y \(b \neq 0\), entonces \(a b \neq 0\), de esto sigue que
\[\frac{a b}{4}-a-b+2=0\]Luego \(a b-4 a-4 b+8=0\), así \(a b-4 a-4 b+16=8\) y factorizamos otra vez xd
\[(a-4)(b-4)=8\]Y listo, resolvimos el problema, ¿por qué?, pues básicamente nos basta considerar las formas posibles de obtener 8 como producto de dos naturales y como conocemos la factorización de 8 , es fácil.
Podemos tener \(4 * 2\) o \(8 * 1\), esto ya que \(2 * 4\) y \(1 * 8\) nos darían el mismo triangulo.
Ahora, si \((a-4)=4\) entonces \(a=8\) y si \((b-4)=2\) entonces \(b=6\) y obtenemos por el teorema de pitágoras \((8,10,6)\)
Para el segundo consideramos \((a-4)=8\), entonces \(a=12\) y si \((b-4)=1\), entonces \(b=5\), obteniendo entonces \((12,13,5)\)
Y listo, concluimos que estos son los posibles casos.