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Teoría de Números

Algunas ecuaciones diofanticas 2

Esta ecuación diofantica no tiene soluciones no triviales y veremos que probar esto es equivalente a probar que la ecuación \(x^4+y^4=z^4\) no tiene soluciones no triviales también. Además que \(x^n+y^n=z^n\) no tiene soluciones no triviales si \(n\) es una potencia de \(2\) mayor que \(2\).

Lema de Euclides

Cuando queremos resolver problemas de teoría elemental de números nos encontramos demasiadas veces con la necesidad de usar este teorema, aquí veremos una prueba, que no es la que originalmente dio Euclides, pero que es más sencilla.

Ley de reciprocidad cuadrática

‘La teoría de números moderna comenzó con el descubrimiento de la ley de reciprocidad cuadrática’- Hecke ‘Ocupado con otro trabajo me encontré con una verdad aritmética extraordinaria. Como la consideré, muy bella en si misma, concentré en ella todos mis esfuerzos para entender los principios de los cuales dependía y para obtener una prueba rigurosa.’ - Gauss

Algunas ecuaciones diofanticas

En álgebra es usual preguntarse por soluciones a ciertos problemas restringiendo el conjunto de salida de las mismas, las ecuaciones diofánticas son un caso más en el que esto ocurre y veremos como estas engloban varios de los problemas más complejos de la teoría de números

Polinomios generadores de primos.

Al estudiar la distribución de los números primos es natural preguntarnos si es posible que un polinomio nos proporcione una formula para determinar el siguiente, aquí veremos que al menos en polinomios de una variable esto es imposible.

El producto de Euler.

Al estudiar la función zeta de Riemann es natural preguntarnos su relación con los números primos y esta es quizás unas de las primeras que podemos encontrar, el producto de Euler además es uno de los primeros teoremas que relacionan el análisis con la teoría de números.

El teorema de pitágoras.

El teorema de pitágoras es uno de los más conocidos de toda la matemática, además tiene una gran cantidad de pruebas, hoy veremos dos de ellas, una de ellas propuesta por un presidente de los EE.UU.

La criba de Eratóstenes.

Eratóstenes de Cirene, matemático griego, desarrollo alrededor de los años 200 a.C un algoritmo que nos permite identificar los números primos menores a un \(n\) dado. Veremos como funciona este algoritmo, daremos un par de detaller del mismo, y por otro lado expondremos una relación entre este algoritmo y el teorema de Dirichlet.

Los números perfectos.

Euler demostró además que todo número perfecto par es justamente de la forma \(2^{p-1}•(2^{p} - 1)\), luego la relación entre estos dos conjuntos de números enteros es justamente biyectiva, aún no podemos descartar la existencia de un números perfecto impar pero sabemos que si existe debe ser mayor que \(10^{300}\).

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Álgebra Computacional

Notación O Grande

Encontrar algoritmos eficientes para hacer todo tipo de tareas es algo muy complicado y a esto se dedican muchos matemáticos. Así mismo es importante entender que tanto tiempo u operaciones deben realizar nuestros algoritmos para realizar distintas tareas, por consiguiente la notación O grande es importante de entender, ya que esta nos permitirá acotar el tiempo de ejecución de nuestro algoritmo para algún \(n\) arbitrario.

La criba de Eratóstenes.

Eratóstenes de Cirene, matemático griego, desarrollo alrededor de los años 200 a.C un algoritmo que nos permite identificar los números primos menores a un \(n\) dado. Veremos como funciona este algoritmo, daremos un par de detaller del mismo, y por otro lado expondremos una relación entre este algoritmo y el teorema de Dirichlet.

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Álgebra

Algunas ecuaciones diofanticas

En álgebra es usual preguntarse por soluciones a ciertos problemas restringiendo el conjunto de salida de las mismas, las ecuaciones diofánticas son un caso más en el que esto ocurre y veremos como estas engloban varios de los problemas más complejos de la teoría de números

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Análisis

El producto de Euler.

Al estudiar la función zeta de Riemann es natural preguntarnos su relación con los números primos y esta es quizás unas de las primeras que podemos encontrar, el producto de Euler además es uno de los primeros teoremas que relacionan el análisis con la teoría de números.

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Geometría

El teorema de pitágoras.

El teorema de pitágoras es uno de los más conocidos de toda la matemática, además tiene una gran cantidad de pruebas, hoy veremos dos de ellas, una de ellas propuesta por un presidente de los EE.UU.

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Teoría analítica de números

El producto de Euler.

Al estudiar la función zeta de Riemann es natural preguntarnos su relación con los números primos y esta es quizás unas de las primeras que podemos encontrar, el producto de Euler además es uno de los primeros teoremas que relacionan el análisis con la teoría de números.

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Ecuaciones Diferenciales

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Teoría de Conjuntos

1) Teoría de conjuntos (ZF)

Este será uno de nuestros primeros acercamientos a la teoría de conjuntos desde la axiomática de Zermelo-Frankel (ZF), en un principio veremos una pequeña motivación del por que esta misma ha sido tan importante y trabajada por grandes maestros de las matemáticas, así en esta serie de post comentaremos y compararemos ZF con otras axiomáticas y veremos el por qué esta parece ser una de las más estandares en el mundo de las matemáticas.

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Axiomática

1) Teoría de conjuntos (ZF)

Este será uno de nuestros primeros acercamientos a la teoría de conjuntos desde la axiomática de Zermelo-Frankel (ZF), en un principio veremos una pequeña motivación del por que esta misma ha sido tan importante y trabajada por grandes maestros de las matemáticas, así en esta serie de post comentaremos y compararemos ZF con otras axiomáticas y veremos el por qué esta parece ser una de las más estandares en el mundo de las matemáticas.

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