El producto de Euler.
Este es quizás uno de los resultados más impresionantes de Euler, este teorema relaciona la teoría de números, que estudia los números enteros, con el análisis matemático, en su momento, mostró la relación entre estas dos ramas de la matemática y dio paso a que posteriormente matemáticos como Dirichlet abrieran puertas y dieran inicio a la teoría analítica de números.
\[\begin{align*} \zeta(s)&=\prod_{p} \dfrac{1}{1-p^{-s}} &&\text{ para todo $s$ tal que $Re(s)>1$} \end{align*}\]Para entender este resultado primero debemos conocer la función \(\zeta\).
\[\begin{align*} \zeta(s)&=1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s}+\dfrac{1}{5^s}+\dfrac{1}{6^s}+\cdots \end{align*}\]Donde $s$ es un número complejo.
Euler se dio cuenta que si multiplicaba a ambos lados de la igualdad por \(\dfrac{1}{2^s}\) la función \(\zeta\) tomaba la siguiente forma:
\[\dfrac{1}{2^s}\zeta(s)=\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{4^s}+\dfrac{1}{6^s}+\dfrac{1}{8^s}+\dfrac{1}{10^s}+\cdots\]Y restando esta segunda serie a la primera, es decir a \(\zeta(s)\), podemos quitar todos los términos que son múltiplos de \(2\), luego factorizando \(\zeta(s)\) obtenemos lo siguiente:
\[(1-\dfrac{1}{2^s}) \zeta(s)=1+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{5^s}+\dfrac{1}{7^s}+\dfrac{1}{9^s}+\dfrac{1}{11^s}+\cdots\]Al hacer esto Euler se da cuenta que si hace este proceso para \(3,5,7,11,\cdots\) y en general para todos los números primos, puede eliminar todos sus múltiplos y obtiene la siguiente expresión:
\[\cdots(1-\dfrac{1}{7^s})(1-\dfrac{1}{5^s})(1-\dfrac{1}{3^s})(1-\dfrac{1}{2^s})\zeta(s)=1\]Por lo tanto:
\[\zeta(s)=\dfrac{1}{(1-\dfrac{1}{7^s})(1-\dfrac{1}{5^s})(1-\dfrac{1}{3^s})(1-\dfrac{1}{2^s})\cdots}\]Luego podemos simplificar esta expresión con un producto obteniendo lo siguiente:
\[\begin{align*} \zeta(s)&=\prod_{p}\dfrac{1}{1-p^{-s}} && \text{Donde $p$ es un número primo.} \end{align*}\]Pero para que este resultado valga, es necesario que la parte real de \(s\) sea mayor que \(1\), esto se escribe como \(Re(s)>1\).
Y esta fue la prueba que dio Euler, que durante su vida se encontró muchas veces con resultados de este estilo, a veces resolviendo problemas terminaba abriendo paso a nuevas ramas de las matemáticas sin siquiera darse cuenta, como por ejemplo la topología y la teoría de grafos en el problema de los puentes de Königsberg.
Sin lugar a dudas fue un matemático increible.