El teorema de pitágoras.
La mayor parte de las demostraciones conocidas de este teorema consisten en calcular un área de dos maneras diferentes para posteriormente igualarlas y manipular la expresión resultante, como ocurre en el siguiente caso:
Demostración usual:
En este caso lo que queremos es calcular el área del cuadrado grande de dos maneras diferentes, una de ellas es ver que es un cuadrado de lado \((a+b)\) y por lo tanto su area es \((a+b)^2=a^2+2 a b+b^2\).
La otra manera es calcular el área del cuadrado interior, la cual es \(c^2\) y sumarle el área de los 4 triángulos interiores, cuya área es \(\frac{a b}{2}\), por tanto el área total sería \(c^2+4\left(\frac{a b}{2}\right)=c^2+2 a b\).
Luego, como estas son dos formas de calcular la misma área, podemos igualarlas de la siguiente manera
\[c^2+2 a b=a^2+2 a b+b^2\]Luego podemos restar $2 a b$ ambos lados de la igualdad y nos queda finalmente que
\[c^2=a^2+b^2\]Y este es justamente el teorema de pitágoras que conocemos y usamos tantas veces en geometría para medir distancias.
\[\tag*{$\blacksquare$}\]Demostración del presidente
Ahora veamos la demostración que dió a este teorema el presidente de los EE.UU James Abram Garfield, nuevamente consiste en calcular el área del siguiente trapecio de dos maneras diferentes.
Usando la fórmula para calcular el área de un trapecio podemos ver que el área del mismo es \(\frac{(a+b)^2}{2}\).
Otra forma de calcular esta área es calcular el área de los 3 triángulos y sumarla, el área de cada uno de los triángulos grises es justamente \(\frac{a b}{2}\), y la del triángulo blanco es \(\frac{c^2}{2}\) luego el área del trapecio sería:
\[\frac{a b}{2}+\frac{a b}{2}+\frac{c^2}{2}=a b+\frac{c^2}{2}\]Al igualar estas dos formar de calcular el área nos queda lo siguiente:
\[\frac{(a+b)^2}{2}=a b+\frac{c^2}{2}\]Ahora podemos multiplicar por 2 a ambos lados y nos que:
\[(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2=2 a b+c^2\]Y restando $2 a b$ a ambos lados nos queda finalmente el teorema de pitágoras.
\[a^2+b^2=c^2\] \[\tag*{$\blacksquare$}\]La fama del teorema de pitágoras se debe a que tiene una gran importancia en la geometría y es de uso recurrente para medir distancias, pero su impacto va más allá, este teorema inspiró a Fermat a plantear varios problemas en teoría de números, tales como el último teorema de Fermat, que duró más de 300 años sin resolverse.