Lema de Euclides
Lema de Euclides
Si \(a \mid b c\) y m.c.d. \((a, b)=1\), entonces \(a \mid c\)
Identidad de Bezout
Sean a y \(b \in \mathbb{Z}\), si \(d=\) m.c. \(d(a, b)\) entonces exiten \(x\) y \(y \in \mathbb{Z}\) tales que \(d=a x+b y\)
Demostración:
Supongamos que \(d=(a, b)\) y sea
\[S=\left\{z \in \mathbb{Z}^{+} \mid z=a x+b y \text { con } x, y \in \mathbb{Z}\right\} .\]\(S \neq \varnothing\) puesto que \(z=a^2+b^2 \in S\). Luego por el Principio del Buen Orden, \(S\) posee un mínimo, llamémoslo \(g\) que podemos escribir en la forma \(g=a x_0+b y_0\). Probaremos que \(g=d=(a, b)\). En efecto \(g\) es divisor común de \(a\) y \(b\), pues si dividimos \(a\) entre \(g\) tenemos:
\[a=q g+r \text { con } 0 \leq r<g\]luego,
\[\begin{aligned} r & =a-q g \\ & =a-q\left(a x_0+b y_0\right) \\ & =a\left(1-q x_0\right)+b\left(-q y_0\right) \\ & =a x^{\prime}+b y^{\prime} . \end{aligned}\]Ahora, si \(r \neq 0\) entonces \(r \in S\) lo cual contradice la minimalidad de \(g\), en consecuencia \(r=0\) y así \(g \mid a\). Análogamente se verifica que \(g \mid b\).
Como \(d=(a, b)\) y \(g\) es un divisor común entonces \(g \leq d\).
De otra parte \(g=a x_0+b y_0\) y \(d \mid a\) y \(d \mid b\) luego \(d \mid g\) y como ambos números son positivos \(d \leq g\) y en consecuencia \(d=g\).
\[\tag*{$\blacksquare$}\]Demostración (Lema de Euclides):
Tenemos que m.c.d. \((a, b)=1\), por la identidad de Bezout existen \(x\) y \(y \in \mathbb{Z}\) tal que \(1=a x+b y\), luego \(c=c \cdot a x+\) c. by, luego a \(\mid c \cdot a x\) y como a \(\mid\) bc entonces a \(\mid c \cdot b y)\) por tanto a \(\mid c\)
\[\tag*{$\blacksquare$}\]Veamos ahora un ejemplo de ejercicio clásico cuya prueba depende fuertemente del Lema de Euclides.
Ejercicio:
Demuestre que si \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=n\) con \(n \in \mathbb{Z}\) y m.c.d. \((a, b)=\) m.c.d. \((c, d)=1\), entonces \(\mid b \mid = \mid d \mid\)
Es decir que si la suma de dos fracciones irreducibles es un número entero entonces el valor absoluto de sus denominadores es igual.
Los invito a pensar en la solución antes de leerla :v
Solución:
Para la solución necesitaremos este teorema:
Teorema:
Sean a y \(b \in \mathbb{Z}\), si \(a \mid b\) y \(b \mid a\), entonces \(\mid a \mid = \mid b \mid\)
Esto se puede probar fácilmente de la definición de divisibilidad y usando que si \(a \mid b\) y \(b \neq 0\) entonces \(\mid a \mid \leq \mid b \mid\) .
\(2 \mid 4\) y \(4 \neq 0\) entonces \(\mid 2 \mid \leq \mid 4 \mid\)
Demostración:
Tenemos que \(\dfrac{a d+b c}{b d}=n\), con \(n \in \mathbb{Z}\), entonces b y d dividen a \(a d+b c\), luego \(b \mid\) ad y \(d \mid b c\) y como m.c.d. \((a, b)=m . c . d .(c, d)=1\), por el lema de Euclides sigue que \(b \mid d\) y \(d \mid b\), así \(\mid b \mid = \mid d \mid\).
\[\tag*{$\blacksquare$}\]